Vers le Bac

Les questions ci-dessous sont indépendantes les unes des autres et sont extraites des épreuves écrites de spécialité en série technologique. 

1. Soit \(\text{ABCD}\) un carré de côté \(4~\text{cm}\). Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\).

2. Dans un repère orthonormé, on donne les coordonnées des vecteurs suivants :
\(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 2\\ -1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}} \begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\).
Déterminer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\).

3. Un triangle \(\text{ABC}\) est tel que \(\text{AB}=5\), \(\text{BC}=8\) et \(\text{AC}=10\).
Déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) en utilisant une formule d'Al-Kashi.

4. \(\text{ABCD}\) est un carré de coté \(4\) et \(\text{ABF}\) est un triangle rectangle en \(\text{B}\) avec \(\text{BF}=3\) comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Déterminer la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{\text{BF}} \cdot \overrightarrow{\text{BD}}\).

5. \(\text{ABCD}\) est un carré de côté \(3~\text{cm}\) et \(\text{DCE}\) est un triangle rectangle et isocèle en \(\text{C}\).

Déterminer la valeur du produit scalaire \(\overrightarrow{\text{EB}} \cdot \overrightarrow{\text{ED}}\).